4. Abschnitt: Ablenkung von Ionen
In dieser Lektion sollen Sie die physikalischen Grundlagen zur gezielten Ablenkung von Ionen auf den Tumor kennenlernen und verstehen.
Die Ablenkung am Ende des Kondensators - Herleitung
Die Flugbahn eines positiv geladenen Ions ist als blaue Kurve in der folgenden Abbildung dargestellt ebenso wie die Ablenkung sy, die am Ende der Flugstrecke im Kondensator mit dem Plattenabstand dy als Pfeil angegeben ist.
Bildquelle: Rolf Piffer, CC-BY-SA 4.0
Die gesuchte Ablenkung sy wird umso größer sein, desto stärker die elektrische Kraft in y-Richtung und desto länger die Einwirkzeit dieser Kraft ist. Die Kraft wirkt nur solange wie sich das Ion im Kondensator aufhält. Diese "Flugzeit" hängt von der konstanten Geschwindigkeit vx der Ionen in x-Richtung und von der durchflogenen Strecke Δsx ab. Diese Strecke ist aber gerade die Länge l der Kondensatorplatten.
Die Geschwindigkeit in x-Richtung
Die Ionen wurden ja noch vor der Ablenkung durch eine Beschleunigung im Feld eines Kondensators auf eine bestimmte Endgeschwindigkeit vx in x-Richtung zum Tumor hin gebracht. Diese Geschwindigkeit errechnet sich mit Hilfe des Energiesatzes (Wkin = Wel) zu:
½·mq·vx2 = q·UBx + ½·mq·vox2
Hierbei ist UBx die Beschleunigungsspannung des Kondensators zur Beschleunigung der Ionen mit deren Masse mq auf ihre Endgeschwindigkeit in x-Richtung. Und vox ist die Anfangsgeschwindigkeit in x-Richtung, die die Ionen schon vor der Beschleunigung direkt nach ihrer Erzeugung hatten.
Demnach ist die Geschwindigkeit vx eines Ions in x-Richtung ist nach dem Durchlaufen einer Beschleunigungsspannung UBx
vx2 = 2·q·UBx /mq + v0x2 (1)
Die Ionen werden in jedem Fall in die positive x-Richtung beschleunigt, auch wenn sie eine negative Ladung tragen würden. Dazu müsste man nämlich die Spannung umpolen und diese hätte dann wie die Ladung ein negatives Vorzeichen. Damit wird das Produkt q·UBx wieder positiv. So ist diese Gleichung auch für negativ geladene Teilchen gültig.
Die in x-Richtung zurückgelegte Strecke Δsx = vx·Δt (siehe Gleichung (1) im letzten Abschnitt "3.1 Ablenkung von Ionen im Plattenkondensator").
Bei bekannter Strecke und Geschwindigkeit vx lässt sich die dafür benötigte Flugzeit Δt durch den Kondensator berechnen. Die Strecke ist gerade die bekannter Länge l der Kondensatorplatten.
l = vx · Δt
Damit ergibt sich für die Flugzeit Δt
:
Die Geschwindigkeit in y-Richtung
Die Geschwindigkeit in y-Richtung nach genau dieser Zeitspanne (2) ist demnach
vy = ay•Δt (3)
Mit ay = q·Ey/mq , wobei Ey das elektrische Feld des Ablenkkondensators ist, folgt mit Ey = Uy/dy (siehe auch Abschnitt b) im Kapitel "3.1 Ablenkung von Ionen im Plattenkondensator")
vy = q•Uy /(mq•dy)•Δt (4)
Bei einem negativ geladenen Teilchen bleibt der Betrag von vy zwar gleich, aber die Bewegungsrichtung kehrt sich um.
Setzt man die Flugzeit Δt (2) in die Gleichung für vy ein, so ergibt sich:
vy = q•Uy /(mq•dy) • l / vx (5)
Die Geschwindigkeit vx eines Ions in x-Richtung ist nach Gleichung (1) gegeben. Für große Endgeschwindigkeiten kann man in guter Näherung die Anfangsgeschwindigkeit v0x vernachlässigen, so dass für vx2 folgt:
vx2 = 2·q·UBx /mq
Diese Geschwindigkeit in Gleichung (5) für die y-Geschwindigkeit eingesetzt ergibt dann schließlich die y-Geschwindigkeit der Ionen nach Verlassen des Kondensators:
Das ist das Quadrat der Geschwindigkeit in y-Richtung nach vollständigem Durchfliegen des Kondensators mit der Länge l, dem Plattenabstand dy und der Ablenkspannung Uy.
Die Ablenkung
Für die Ablenkungsstrecke sy ergibt sich mit der Flugzeit Δt:
sy = ½· ay · Δt2
Und mit ay = q·Ey / mq = q•Uy / (mq•dy)
und Gleichung (2) für die Flugzeit folgt:
sy = ½ · q·Uy /(mq·dy ) · vx-2 · l2
Sollte das Teilchen eine negative Ladung tragen, so bleibt zwar der Betrag von sy gleich, aber die Ablenkung geschieht in die entgegengesetzte Richtung.
Ersetzt man noch vx durch Gleichung (5), ergibt sich für die Ablenkung des Strahls am Ende des Kondensators schließlich eine recht übersichtliche Gleichung: