Title: 3. Abschnitt: Beschleunigung von Ionen
Course: Geladene Teilchen in E-Feldern (11/12) > Section: Geladene Teilchen in elektrischen Feldern

In dieser Lektion sollen Sie die physikalischen Grundlagen kennenlernen und verstehen, wie die Ionen auf ihre notwendige Endgeschwindigkeit gebracht werden.

Beschleunigung von Ionen - Überblick

Bildquelle: Rolf Piffer, CC-BY-SA 4.0
Am Ende dieses Abschnitts sollen Sie folgende Kompetenzen haben:

1. Die notwendigen physikalischen Schritte zur Beschleunigung von geladenen Teilchen erläutern können.
2. Aus Tabellen problemorientiert Werte entnehmen können.
3. Die Endgeschwindigkeiten von geladenen Teilchen nach einer Beschleunigungsphase (auch mit Anfangsgeschwindigkeiten) berechnen können.

Vorgehensweise

  - Sie werden diesen Abschnitt der Lektion "Geladene Teilchen in elektrischen Feldern" durcharbeiten.
  - In diesem Abschnitt befinden sich Fragen zum Verständnis und Rechenaufgaben.
  - Sie erhalten zu jeder Lösung einer Aufgabe sofort ein Feedback damit Sie Ihr Verständnis bzw. Ihre Kompetenz selber überprüfen und ggf. verbessern können.
  - Zu jedem Abschnitt sollen Sie eigene Aufzeichnungen anfertigen, die aussagekräftig sein sollen und für Sie eine Lerngrundlage für spätere Klausuren, Tests oder Abfragen darstellen .
  - Denken Sie dabei noch an Fotos, Tabellen oder sonstige Bilder. Diese können Sie dann später in Ihre Datei einfügen.

Eindringtiefe von Ionen in Gewebe

Wie muss ein Ionenstrahl präpariert werden, damit die die geladenen Teilchen ihre Energie in einem definierten Tiefenbereich des Gewebes abgeben? Oder anders gefragt, wovon hängt denn die Eindringtiefe ab?

1. Eindringtiefe von Elektronen

Die energieabgebende Wirkung von ionisierender Strahlung an die umgebende Materie wird Dosis genannt. Zur besseren Vergleichbarkeit wurde bei Untersuchungen zum Dosisverlauf von geladenen Teilchen statt Gewebe immer Wasser verwendet. Da das Gewebe sehr viel Wasser enthält, ist Wasser als Modellsubstanz aber gut brauchbar.

Nach Abbildung 3 steigt die relative Dosis (auf 100% normiert) von Elektronen zunächst mit zunehmender Wassertiefe an, um dann nach einem Maximum langsam wieder abzunehmen. Am Maximum des Dosisverlaufs ist die schädigende Wirkung der Elektronen auf Gewebe auch maximal.

Die meisten Elektronen geben ihre Energie nach Abbildung 3 allerdings schon nach sehr wenigen cm Tiefe an das Wasser ab.

Die Lage des Dosismaximums von Elektronen im Wasser hängt aber noch von deren Geschwindigkeit ab.

Tabelle 1: Eindringtiefen bzw. Reichweiten von Elektronen in Wasser. Datenquelle: Christian Breit: Strahlentherapie-Seminar vom 22.04.2013, Seite 3

Elektronengeschwindigkeit in 10^8 m/s | Eindringtiefe in cm
2,88 | 1,30
2,91 | 1,80
2,94 | 2,80
2,95 | 3,70
2,96 | 4,10

In der Tabelle 1 sind die jeweiligen Wasserstiefen angegeben, bei der die Energieabgabe an das Wasser gerade maximal ist. Diese Wassertiefen werden im Folgenden Eindringtiefen oder auch Reichweiten genannt.

Die Elektronen treten nach Abbildung 3 zwar noch tiefer ins Wasser ein, jedoch ist der Energietransfer ans Wasser (Gewebe) dann nur noch sehr gering.

Trotz doch sehr großer Geschwindigkeiten liegt das Maximum der Eindringtiefe aber nur bei etwa 4 cm Wassertiefe.

Dadurch ist der Einsatz von Elektronen in der Strahlentherapie aber auf Oberflächentumore begrenzt. Um auch tiefer liegende Tumore zu erreichen, verwendet man gemäß Abbildung 3 besser Protonen oder auch positiv geladene Kohlenstoffatome ^12C.

2. Eindringtiefe von Protonen

CC BY 3.0

Im Vergleich zur Energieabgabe von schnellen Elektronen an Wasser, haben die Energietransfers von schnellen Wasserstoffionen (Protonen) einen charakteristischen Verlauf mit zunehmender Wassertiefe (Gewebetiefe).

Nach Abbildung 4 geben die Ionen am Anfang der Eindringstrecke nur wenig Energie ab. Nach einer bestimmten Strecke im Wasser kommt es dann aber zu einer erhöhten Energieabgabe. Der größte Energietransfer findet in einem sehr schmalen Tiefenbereich (Eindringtiefe) statt.

In der Abbildung 3 ist neben dem Tiefendosis-Profil von Protonen auch noch das von einfach positiv geladenen Kohlenstoffionen abgebildet. Die Ionenarten unterscheiden sich zwar in der Masse ihrer Teilchen hatten hierbei aber die gleiche Geschwindigkeit. Auch jede andere Ionenart hat bei gleicher Geschwindigkeit und Ladung der Teilchen nahezu das gleiche Tiefenprofil.

Die Ionen geben nahezu ihre gesamte Energie in einem nur sehr begrenzten Tiefenbereich an Zellen ab und zerstören diese damit. Dieser charakteristische Verlauf mit dem schnellen Anstieg und dem anschließenden schnellen Abfall der Energieübertragung nennt man auch Bragg-Peak.

In den nun folgenden Abschnitten dieses Kapitels wird geklärt, wie die Ionen auf die für die Tumortiefe richtige Geschwindigkeit gebracht werden.

Strahl auf Eindringtiefe präparieren - Fragenteil 1

Das geschwindigkeitsabhängige Tiefenprofil der Energieabgabe von Protonen ist in der folgenden Abbildung zu sehen:

CC BY 3.0

Die folgende MRT-Aufnahme zeigt einen Tumor an der Bauchspeicheldrüse eines Patienten.

Schätzen Sie mit Hilfe der Abb. 4 ab, welche Geschwindigkeit Protonen haben müssen, um den Tumor in der Tiefe entlang der eingezeichneten Pfeile zu erreichen.

Welche Geschwindigkeit triff am ehesten zu?

- v = 1,09·10^8 m/s
Feedback: Gut, das kommt hin.
- v = 1,17·10^8 m/s
Feedback: Gut, das kommt auch noch hin.
- v = 1,22·10^8 m/s
Feedback: Das kommt nicht mehr hin. Die Tumortiefe ist entlang der Pfeile nicht größer als 20 cm.
- v = 1,32·10^8 m/s
Feedback: Das kommt nicht mehr hin. Die Tumortiefe ist entlang der Pfeile nicht größer als 20 cm.
- weiter ohne Antwort
Feedback: Bitte nicht so schnell aufgeben!

Beschleunigung der Ionen

Ionen mit der Ladung q werden im homogenen elektrischen Feld zwischen den geladenen Platten eines Plattenkondensators beschleunigt:

Videoquelle: Rolf Piffer, CC0

Jede Beschleunigung setzt eine wirkende resultierende Kraft voraus. Auf ein Teilchen mit der Ladung q wirkt eine Kraft , wenn ein elektrisches Feld vorhanden ist.

- Ist die Ladung des Teilchens positiv, dann wirkt die Kraft in die gleiche Richtung wie das elektrische Feld E.
- Ist die Ladung q hingegen negativ, dann wirkt die Kraft in entgegengesetzte Richtung wie das elektrische Feld.

Kraftrichtung und Richtung des elektrischen Feldes sind also

a) parallel, wenn q > 0 ist und

b) antiparallel, wenn q < 0 ist.

Der Betrag der Kraft auf das geladene Teilchen wird umso größer, je größer die elektrische Feldstärke und/oder die Ladung q des Teilchens ist:

Ist keine elektrische Feldstärke vorhanden, erfahren geladene Teilchen keine Kraft und werden dann auch nicht beschleunigt.

Beschleunigung im homogenen elektrischen Feld

Das zur Beschleunigung verwendete elektrische Feld, soll der Einfachheit halber homogen sein. Das heißt, dass der Feldvektor F des elektrischen Feldes überall in die gleiche Richtung zeigt und damit alle Feldlinien parallel sind. Außerdem ist hier der Betrag des Vektors an jeder Stelle des Raums gleich groß.

Das homogene Feld wird wie in Abbildung 14 gezeigt durch einen Kondensator erzeugt.

Quelle Abb. 14: Rolf Piffer, CC0

Die Anfangsgeschwindigkeiten v_0 der Ladungen q (hier der Elektronen) sind nicht gleich groß und auch nicht gleich gerichtet.

Durch das homogene Feld E von der positiv geladenen Anode zur negativ geladenen Kathode wirkt eine konstante Kraft auf die Elektronen zur positiven geladenen Kondensatorplatte (Anode) nach rechts. Diese Bewegung ist also eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung . Die Änderung der Geschwindigkeit Δv lässt sich nach den zugehörigen Bewegungsgesetzen mit Δv = a • Δt berechnen.

Da Δv = v - v_0 ist, wobei v_0 die Anfangsgeschwindigkeit der Ladung darstellt.

Die Anfangsgeschwindigkeit v_0 in einer ausgezeichneten Richtung (z.B. der x-Richtung) kann nur zwischen den Werten -  v_0 und +v_0 des Betrags der Anfangsgeschwindigkeit liegen, mit der die Ladungen die Quelle verlassen.

Positiv geladene Teilchen wie Protonen werden ebenfalls mit Hilfe eines homogenen Feldes in einem Kondensator beschleunigt, nur dass hier nach Abbildung 10 die Polung der Platten vertauscht ist. Die negativ geladene Kathode befindet sich diesmal auf der rechten Seite.

Bewegungen von Elektronen sollen im Folgenden daraufhin untersucht werden, ob überhaupt ein homogenes elektrischen Feld vorliegt und wenn, welche Eigenschaften dieses Feld haben muss.

Abbildungsquelle: Rolf Piffer, CC0

Zu jeweils einer Bewegung eines Elektrons sind verschiedene Aussagen zum eventuell vorliegenden elektrischen Feld aufgelistet. Hierbei sind mehrere richtige Antworten möglich, aber es gibt immer mindestens eine Lösung.

Eine sehr gute Simulation zu diesem Fall der Beschleunigung finden Sie auf der Seite geladene Teilchen im elektrischen Längsfeld

Im Folgenden werden zunächst einige Verständnisfragen zur Bewegung von Elektronen in elektrischen Feldern behandelt.

Einige der Aufgaben können über den folgenden Link als App aufgerufen werden:

Elektronen im elektrischen Feld

2.1 Kapitel Clusterfrage 1

1. Aufgabe:

Bewegung eines Elektrons in einem elektrischen Feld?

Videoquelle: Rolf Piffer, CC-BY-SA 4.0

Diese Bewegung des Elektrons soll angeblich durch ein homogenes elektrisches Feld beeinflusst sein.
Das elektrische Feld dieser Aufgabe hätte dann bestimmte Eigenschaften.
Wählen Sie die richtigen Aussagen aus und senden Sie Ihre Entscheidungen ab:

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach rechts rechts
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Der Betrag von E wird eher immer groeßer
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Das Feld ist nicht homogen
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach links
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Der Betrag von E wird eher immer kleiner
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Der Betrag von E bleibt gleich oder ist 0
Feedback: das ist richtig! Gut!
- Die Richtung von E aendert sich
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Ich weiß nicht, zurück zur Info-Seite "Beschleunigung"

2.1 Kapitel Clusterfrage 2

2. Aufgabe:

Bewegung eines Elektrons in einem elektrischen Feld?

Videoquelle: Rolf Piffer, CC-BY-SA 4.0

Diese Bewegung des Elektrons soll angeblich durch ein homogenes elektrisches Feld beeinflusst sein.
Das elektrische Feld dieser Aufgabe hätte dann bestimmte Eigenschaften.
Wählen Sie die richtigen Aussagen aus und senden Sie Ihre Entscheidungen ab:

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach rechts
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach links
Feedback: gut, das ist aber nur eine richtige Antwort!
- Der Betrag von E bleibt eher gleich oder ist 0
Feedback: gut, das ist aber nur eine richtige Antwort!
- Die Richtung von E aendert sich
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach unten.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Ich weiß nicht, zurück zur Info-Seite "Beschleunigung"

2.1 Kapitel Clusterfrage 3

3. Aufgabe:

Bewegung eines Elektrons in einem elektrischen Feld?

Videoquelle: Rolf Piffer, CC-BY-SA 4.0

Diese Bewegung des Elektrons soll angeblich durch ein homogenes elektrisches Feld beeinflusst sein.
Das elektrische Feld dieser Aufgabe hätte dann bestimmte Eigenschaften.
Wählen Sie die richtigen Aussagen aus und senden Sie Ihre Entscheidungen ab:

- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach rechts.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Das Feld ist offensichtlich nicht homogen.
Feedback: gut, das ist aber nur eine richtige Antwort!
- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach links.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Das Feld ist homogen.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Der Betrag von E bleibt gleich oder ist Null.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Die Richtung von E ändert sich.
Feedback: gut, das ist aber nur eine richtige Antwort!
- Ich weiß nicht, zurück zur Info-Seite "Beschleunigung"

2.1 Kapitel Clusterfrage 4

4. Aufgabe:

Bewegung eines Elektrons in einem elektrischen Feld?

Videoquelle: Rolf Piffer, CC-BY-SA 4.0

Diese Bewegung des Elektrons soll angeblich durch ein homogenes elektrisches Feld beeinflusst sein.

Das elektrische Feld dieser Aufgabe hätte dann bestimmte Eigenschaften.
Wählen Sie die richtigen Aussagen aus und senden Sie Ihre Entscheidungen ab:

- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach rechts.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Das Feld ist homogen.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach links.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Das Feld ist nicht homogen.
Feedback: gut, das ist aber nur eine richtige Antwort!
- Der Betrag von E bleibt eher gleich oder ist Null.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Die Richtung von E ändert sich.
Feedback: gut, das ist aber nur eine richtige Antwort!
- Ich weiß nicht, zurück zur Info-Seite "Beschleunigung"

2.1 Kapitel Clusterfrage 5

5. Aufgabe:

Bewegung eines Elektrons in einem elektrischen Feld?

Videoquelle: Rolf Piffer, CC-BY-SA 4.0

Diese Bewegung des Elektrons soll angeblich durch ein homogenes elektrisches Feld beeinflusst sein.

Das elektrische Feld dieser Aufgabe hätte dann bestimmte Eigenschaften.
Wählen Sie die richtigen Aussagen aus und senden Sie Ihre Entscheidungen ab:

- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach rechts.
Feedback: gut, das ist aber nur eine richtige Antwort!
- Das Feld ist vermutlich homogen.
Feedback: gut, das ist aber nur eine richtige Antwort!
- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach links.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Das Feld ist offensichtlich nicht homogen.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Der Betrag von E bleibt eher gleich.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Die Richtung von E ändert sich.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an.
- Ich weiß nicht, zurück zur Info-Seite "Beschleunigung"

2.1 Kapitel Clusterfrage 6

6. Aufgabe:

Bewegung eines Elektrons in einem elektrischen Feld?

Videoquelle: Rolf Piffer, CC-BY-SA 4.0

Diese Bewegung des Elektrons soll angeblich durch ein homogenes elektrisches Feld beeinflusst sein.

Das elektrische Feld dieser Aufgabe hätte dann bestimmte Eigenschaften.
Wählen Sie die richtigen Aussagen aus und senden Sie Ihre Entscheidungen ab:

- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach rechts.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an. Denken Sie auch an die Kreisbewegung in der Mechanik!
- Das Feld ist vermutlich nicht homogen.
Feedback: gut, das ist aber (nur) eine richtige Antwort!
- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach links.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an. Denken Sie auch an die Kreisbewegung in der Mechanik!
- Die Richtung des Feldvektors wechselt von links nach rechts.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an. Denken Sie auch an die Kreisbewegung in der Mechanik!
- Der Betrag von E bleibt gleich.
Feedback: gut, das ist aber (nur) eine richtige Antwort!
- Die Richtung von E ändert sich.
Feedback: gut, das ist aber (nur) eine richtige Antwort!
- Ich weiß nicht, zurück zur Info-Seite "Beschleunigung"

2.1 Kapitel Clusterfrage 7

7. Aufgabe:

Bewegung eines Elektrons in einem elektrischen Feld?

Videoquelle: Rolf Piffer, CC-BY-SA 4.0

Diese Bewegung des Elektrons soll angeblich durch ein homogenes elektrisches Feld beeinflusst sein.

Das elektrische Feld dieser Aufgabe hätte dann bestimmte Eigenschaften.
Wählen Sie die richtigen Aussagen aus und senden Sie Ihre Entscheidungen ab:

- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach rechts.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an. Denken Sie an den waagerechten Wurf in der Mechanik!
- Das Feld ist vermutlich homogen.
Feedback: gut, das ist aber (nur) eine richtige Antwort!
- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach links.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an. Denken Sie an den waagerechten Wurf in der Mechanik!
- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach unten.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an. Denken Sie an den waagerechten Wurf in der Mechanik!
- Der Vektor des elektrischen Feldes zeigt nach oben.
Feedback: gut, das ist aber (nur) eine richtige Antwort!
- Die Richtung von E ändert sich.
Feedback: das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte noch einmal die Grundlagen zu den elektrischen Kräften auf geladene Teilchen und deren Beschleunigung an. Denken Sie an den waagerechten Wurf in der Mechanik!
- Ich weiß nicht, zurück zur Info-Seite "Beschleunigung"

2.1 Kapitel Ende der Verständnisfragen

Sie können jetzt entweder ab "Beschleunigung"wiederholen, nur die Fragen wiederholen oder weitergehen zum Abschnitt "Anfangsgeschwindigkeit".

Anfangsgeschwindigkeiten der Ionen gleich nach Erzeugung

1. Elektronen

Aus der letzten Lektion "Herstellung von Ionen" ist bereits bekannt, wie groß die Anfangsgeschwindigkeit der beim glühelektrischen Effekt freigesetzten Elektronen schätzungsweise ist.

Demnach haben die meisten Elektronen einen Geschwindigkeitsbetrag von etwa 2,5 • 10^5  m/s. Allerdings gibt es eine breite Geschwindigkeitsverteilung, so dass es durchaus langsamere und schnellere Elektronen gibt. Die gesuchte Anfangsgeschwindigkeit v_0 von Elektronen wird näherungsweise mit 2,5 • 10^5 m/s gleichgesetzt.

2. Protonen

Ebenfalls aus dem letzten Abschnitt ist bereits bekannt, dass sich der Betrag der Anfangsgeschwindigkeit von erzeugten Protonen auf maximal 3,0 • 10^ 4 m/s belaufen wird.

Anfangsgeschwindigkeit 1. Rechenaufgabe

1. Aufgabe

Elektronen wurden von ihrer Anfangsgeschwindigkeit auf eine Endgeschwindigkeit von 2,50•10^7 m/s beschleunigt. Berechnen Sie wie groß der prozentuelle Anteil die Anfangsgeschwindigkeit an an der kinetischen Energie am Ende ist.

Bitte geben Sie Ihr Ergebnis mit mindestens drei signifikanten Stellen an. Die Eingabe der Werte mit Potenzen geschieht so: Nicht 2,43•10^12  sondern hier mit E als Potenz 2.43E12.

Die Eingabe  von -1 bewirkt ein Überspringen aller Rechenaufgaben. Nicht empfehlenswert!

Der Anteil beträgt  ????  %

- 0.0099:0.011
Feedback: sehr gut! Der korrekte Wert ist W_kin(v_0)/W_kin(v_Ende) = 0,01 %
- -1
Feedback: Rechenaufgaben sind eine gute Übung!
- @#wronganswer#@
Feedback: Das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte die folgende Formel noch einmal an: W_kin = = ½•m_Elek•v^2

Berechnung der Endgeschwindigkeit

Bitte zunächst den Startknopf des Videos anwählen!

Videoquelle: Rolf Piffer, CC0
Die freigesetzten geladenen Teilchen mögen die Ladung q haben und sich gleich nach ihrer Freisetzung nahe der linken Platte eines geladenen Kondensators befinden (siehe Animation).

Die Teilchen erfahren durch die Beschleunigung im elektrischen Feld des Kondensators eine Energieänderung, die sich durch

ΔW_kin = F_el•Δs berechnen lässt. Mit der Kraft F_el = q•E auf ein Teilchen mit der Ladung q im elektrische Feld mit der Feldstärke E ergibt sich für die Energieänderung:

ΔW_kin = q•(E •Δs)

Für die so erreichbare maximale kinetische Energie ergibt sich daher:

½•m•v²_Ende = q•U_B +½•m•v_0²

Schließlich lässt sich diese Gleichung nach v²_Ende auflösen:

v²_Ende =2•q•U_B/m + v_0²

Eine ausführlichere Herleitung im Kapitel "Berechnung der Endgeschaindigkeit - Herleitung"

Berechnung der Endgeschwindigkeit - Herleitung

Bitte zunächst den Startknopf des Videos anwählen!

Videoquelle: Rolf Piffer, CC0
Die freigesetzten geladenen Teilchen mögen die Ladung q haben und sich gleich nach ihrer Freisetzung nahe der linken Platte eines geladenen Kondensators befinden (siehe Animation).

Trägt der Probekörper eine positive Ladung (q>0), muss bei dieser Bewegung die linke Kondensatorplatte ebenfalls positiv und die rechte negativ geladen sein. In diesem Fall sei der Wert der Beschleunigungsspannung U_B positiv.

Ist hingegen der Probekörper negativ geladen (q<0), so muss bei dieser Bewegung die linke Platte negativ und die rechte positiv geladen sein. In diesem Fall wird der Wert der Beschleunigungsspannung ebenfalls negativ.

In jedem Fall ist der Wert des Produkts q·U_B für die dargestellte Bewegung positiv, da die Beschleunigung genauso wie die Kraft im Video immer immer nach rechts zeigt. Da Fel = q•E = q• U_B / d , ist Fel > 0.

Die Teilchen erfahren durch die Beschleunigung im elektrischen Feld des Kondensators eine Energieänderung, die sich durch

ΔW_kin = F_el•Δs berechnen lässt. Mit der Kraft F_el = q•E auf ein Teilchen mit der Ladung q im elektrische Feld mit der Feldstärke E ergibt sich für die Energieänderung:

ΔW_kin = q•E •Δs                 (1)

Die elektrische Feldstärke E lässt sich in diesem Fall eines homogenen Feldes durch die Spannung U_B und den Plattenabstand d beschreiben:

E =U_B / d                           (2)

Setzt man diese Gleichung in (1) ein, erhält man für die Energieänderung:

ΔW_kin = q•(U_B / d) •Δs       (3)

Da das Teilchen maximal nur die Strecke Δs = d durchlaufen kann, ergibt sich die maximale Änderung der Energie:

ΔW_kin,max = q•U_B               (4)

Damit kann die Änderung der kinetischen Energie geschrieben werden als:

½•m•(v²_Ende - v_0²) = q•U_B

Für die so erreichbare maximale kinetische Energie ergibt sich daher:

½•m•v²_Ende = q•U_B +½•m•v_0²

Schließlich lässt sich diese Gleichung nach v²_Ende auflösen:

v²_Ende =2•q•U_B/m + v_0²      (4a)

Berechnung der Endgeschwindigkeit 1. Rechenaufgabe

1. Aufgabe

Berechnen Sie den Betrag der Beschleunigung a, die ein Elektron in einem Kondensator mit der Beschleunigungsspannung von 100 V und einem Plattenabstand von 5 cm erfährt. Bitte geben Sie Ihr Ergebnis mit mindestens drei signifikanten Stellen an. Die Eingabe der Werte mit Potenzen geschieht so: Nicht 2,43•10^12  sondern hier mit Dezimalpunkt und mit E als Potenz 2.43E12.

Die EIngabe  von -1 bewirkt ein Überspringen aller Rechenaufgaben. Nicht empfehlenswert!

Die Beschleunigung beträgt  ????  in m•s^-2

- 3.49E+14:3.53E+14
Feedback: sehr gut! Der korrekte Wert ist a = 3,51•10^12 m•s^-2
- -1
Feedback: Rechenaufgaben sind eine gute Übung!
- @#wronganswer#@
Feedback: Das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte die folgende Formel noch einmal an: v = q•U_B/(m_q•d)•Δt + v_0

Kapitel 2.3 2. Rechenaufgabe

2. Aufgabe

Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit v, die ein Elektron hätte, das zwar keine Anfangsgeschwindigkeit besitzt aber in einem elektrischen Feld der Stärke 2000 V/m genau 1,00•10^-9 s lang beschleunigt wird. Bitte geben Sie Ihr Ergebnis mit mindestens drei signifikanten Stellen an. Das Ergebnis bitte statt z.B. 2,43•10^12  sondern hier mit Dezimalpunkt und mit E als Potenz 2.43E12.

Die Eingabe  von -1 bewirkt ein Überspringen aller Rechenaufgaben. Nicht empfehlenswert.

Die Endgeschwindigkeit beträgt ???? m•s^-1

- 348000:354000
Feedback: sehr gut! Der korrekte Wert ist: v = 3,51•10^12 m•s^-1
- -1
Feedback: Rechenaufgaben sind eine gute Übung!
- @#wronganswer#@
Feedback: Das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte die folgende Formel noch einmal an: v = q•U_B/(m_q•d)•Δt + v_0

Kapitel 2.3 3. Rechenaufgabe

3. Aufgabe

Berechnen Sie die maximale Endgeschwindigkeit v eines Elektrons, das eine Anfangsgeschwindigkeit von 2,5•10^5 m/s besitzt und in einem elektrischen Feld der Stärke 2000 V/m genau 1,0•10^-9 s lang auf eine noch höhere Geschwindigkeit beschleunigt wird. Bitte geben Sie Ihr Ergebnis mit mindestens drei signifikanten Stellen an.

Das Ergebnis bitte statt z.B. 2,43•10^12  sondern hier mit Dezimalpunkt und mit E als Potenz 2.43E12.

Die EIngabe  von -1 bewirkt ein Überspringen aller Rechenaufgaben. Nicht empfehlenswert.

Die Endgeschwindigkeit beträgt ???? m•s^-1

- 373000:379000
Feedback: sehr gut! Der korrekte Wert ist v = 3,76•10^12 m•s^-1
- -1
Feedback: Die Lösungen der Rechenaufgaben sind eine gute Übung!
- @#wronganswer#@
Feedback: Das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte die folgende Formel noch einmal an: v = q•U_B/(m_q•d)•Δt + v_0

Kapitel 2.3 4. Rechenaufgabe

4. Aufgabe

Berechnen Sie die maximale Endgeschwindigkeit v eines Elektron mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 2,50•10^5 m/s, das in einem Kondensator mit der Beschleunigungsspannung von 200 V über den gesamten Plattenabstand von 15,0 cm auf eine höhere Geschwindigkeit beschleunigt wird. Hinweis: Die Bewegungsgesetze berücksichtigen auch die Beschleunigungsstrecke. Bitte geben Sie Ihr Ergebnis mit mindestens drei signifikanten Stellen  an.

Das Ergebnis bitte statt z.B. 2,43•10^12 sondern hier mit Dezimalpunkt und mit E als Potenz 2.43E12.

Die EIngabe  von -1 bewirkt ein Überspringen aller Rechenaufgaben. Nicht empfehlenswert.

Die Endgeschwindigkeit beträgt ???? m•s^-1

- 8360000:8420000
Feedback: sehr gut! Der korrekte Wert ist v = 8,39•10^12 m•s^-1
- -1
Feedback: Die Lösungen der Rechenaufgaben sind eine gute Übung!
- @#wronganswer#@
Feedback: Das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte die folgende Formel noch einmal an: v = q•U_B/(m_q•d)•Δt + v_0

Kapitel 2.3 5. Rechenaufgabe

5. Aufgabe

Berechnen Sie die maximale Endgeschwindigkeit v eines Protons mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 3,00•10^4 m/s, das in einem Kondensator mit der Beschleunigungsspannung von 200 V über den gesamten Plattenabstand von 15,0 cm beschleunigt wird. Hinweis: Die Bewegungsgesetze berücksichtigen auch die Beschleunigungsstrecke. Bitte geben Sie Ihr Ergebnis mit drei signifikanten Stellen  an.

Das Ergebnis bitte statt z.B. 2,43•10^12  sondern hier mit Dezimalpunkt und mit E als Potenz 2.43E12.

Die EIngabe  von -1 bewirkt ein Überspringen aller Rechenaufgaben. Nicht empfehlenswert.

Die Endgeschwindigkeit beträgt ???? m•s^-1

- 195000:201000
Feedback: sehr gut! Der korrekte Wert ist v = 1,98•10^12 m•s^-1
- -1
Feedback: Das Lösung der Rechenaufgaben sind eine gute Übung!
- @#wronganswer#@
Feedback: Das ist leider falsch! Sehen Sie sich die folgende Formel noch einmal an : v = q•U_B/(m_q•d)•Δt + v_0

Kapitel 2.3 6.a Rechenaufgabe

6.a Aufgabe

Freigesetzte Protonen haben Anfangsgeschwindigkeiten zwischen 1,00•10^3 und 3,00•10^4 m/s. Diese werden in einem Kondensator mit der Beschleunigungsspannung von 300 V über den gesamten Plattenabstand von 10,0 cm auf eine höhere Geschwindigkeit beschleunigt.

Geben Sie zum einen die maximale und zum anderen auch die minimale Endgeschwindigkeit der Protonen an.

Geben Sie außerdem die relative Abweichung Δv vom Maximalwert v_max in % an. Hinweis: Die Bewegungsgesetze berücksichtigen auch die Beschleunigungsstrecke. Bitte geben Sie Ihr Ergebnis mit drei signifikanten Stellen an.

Das Ergebnis bitte statt z.B. 2,43•10^12  sondern hier mit Dezimalpunkt und mit E als Potenz 2.43E12.

Die EIngabe von -1 bewirkt ein Überspringen aller Rechenaufgaben. Nicht empfehlenswert.

Die maximale Endgeschwindigkeit beträgt ???? m•s^-1

- 241000:243000
Feedback: sehr gut! Der korrekte Wert ist v = 2,42•10^12 m•s^-1
- -1
Feedback: Das Lösen der Rechenaufgaben ist eine gute Übung!
- @#wronganswer#@
Feedback: Das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte die folgende Formel noch einmal an: v = q•U_B/(m_q•d)•Δt + v_0

Kapitel 2.3 6.b Rechenaufgabe

6.b Aufgabe

Freigesetzte Protonen haben Anfangsgeschwindigkeiten zwischen 1,00•10^3 und 3,00•10^4 m/s. Diese werden in einem Kondensator mit der Beschleunigungsspannung von 300 V über den gesamten Plattenabstand von 10,0 cm auf eine höhere Geschwindigkeit beschleunigt.

Geben Sie zum einen die maximale und zum anderen auch die minimale Endgeschwindigkeit der Protonen an.

Geben Sie außerdem die relative Abweichung Δv vom Maximalwert v_max in % an. Hinweis: Die Bewegungsgesetze berücksichtigen auch die Beschleunigungsstrecke. Bitte geben Sie Ihr Ergebnis mit drei signifikanten Stellen an.

Das Ergebnis bitte statt z.B. 2,43•10^12  sondern hier mit Dezimalpunkt und mit E als Potenz 2.43E12.

Die EIngabe von -1 bewirkt ein Überspringen aller Rechenaufgaben. Nicht empfehlenswert.

Die minimale Endgeschwindigkeit beträgt ???? m•s^-1

- 239000:241000
Feedback: sehr gut! Der korrekte Wert ist v =2,40•10^12 m•s^-1
- -1
Feedback: Das Lösen der Rechenaufgaben ist eine gute Übung!
- @#wronganswer#@
Feedback: Das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte die folgende Formel noch einmal an: v = q•U_B/(m_q•d)•Δt + v_0

Kapitel 2.3 6.c Rechenaufgabe

6.c Aufgabe

Freigesetzte Protonen haben Anfangsgeschwindigkeiten zwischen 1,00•10^3 und 3,00•10^4 m/s. Diese werden in einem Kondensator mit der Beschleunigungsspannung von 300 V über den gesamten Plattenabstand von 10,0 cm auf eine höhere Geschwindigkeit beschleunigt.

Geben Sie zum einen die maximale und zum anderen auch die minimale Endgeschwindigkeit der Protonen an.

Geben Sie außerdem die relative Abweichung Δv vom Maximalwert v_max in % an. Hinweis: Die Bewegungsgesetze berücksichtigen auch die Beschleunigungsstrecke. Bitte geben Sie Ihr Ergebnis mit drei signifikanten Stellen an.

Das Ergebnis bitte statt z.B. 2,43•10^12 : sondern hier mit Dezimalpunkt und mit E als Potenz 2.43E12.

Die EIngabe von -1 bewirkt ein Überspringen aller Rechenaufgaben. Nicht empfehlenswert.

Die relative Abweichung beträgt ???? %

- 0.75:0.79
Feedback: sehr gut! Der richtige Wert ist abw = 0,77%
- -1
Feedback: Das Lösen der Rechenaufgaben ist eine gute Übung!
- @#wronganswer#@
Feedback: Das ist leider falsch! Sehen Sie sich bitte die folgende Formel noch einmal an: v = q•U_B/(m_q•d)•Δt + v_0

Ende des Kapitels

Sie können zurück zur Seite über die Beschleunigung von Ionen, zur Berechnung der Endgeschwindigkeit oder wieder zu der Übersicht über die Abschnitte des Kapitels ganz am Anfang gehen.